Modulo 18, Semana 3, Actividad: Concentración de CO2 en una función

Estudiante: Michel Sámano del Real

Grupo: M18C2G4-021

Facilitador: José Ricardo Vergara Torres

Fecha: 24/04/20017

1. Lee con detenimiento la siguiente situación:

El cambio climático es un fenómeno con efectos sobre el clima, está asociado a la intervención humana por la producción y acumulación de gases de efecto invernadero, como el CO₂, en la atmósfera.

El observatorio del volcán Mauna Loa, en Hawái, se dedica al monitoreo de la concentración de CO₂ sobre la superficie de los mares, teniendo un registro desde el año 1980 hasta 2015. Con base en un proceso estadístico, similar al que se revisó en el Módulo 17, fue posible establecer un modelo matemático que aproxima la concentración del CO₂, por año.

A continuación se muestra una gráfica de los datos obtenidos por este centro de monitoreo¹ del promedio anual de CO₂ sobre la superficie del mar, para más información puedes consultar la página del observatorio directamente.

 

Para pensar esta función de crecimiento se considera el año 1980 como el inicio de la medición de tiempo, es decir, se toma como t = 0, a partir de este punto comienza a avanzar la variable temporal, por último se ajustan las escalas para que los ejes tengan el mismo tamaño entre cada valor, esto, porque es la forma más común de trabajarlo, de manera que la gráfica resultante es:

 

Usando herramientas de Excel se ha generado un ajuste exponencial (en el Módulo 17 de Estadística se trabajaron ajustes lineales), dado por:

Para comprender mejor los elementos de esta función puedes apoyarte del video: https://www.youtube.com/watch?v=zcs6JXHZQtI

f(t)=333.08e^0.005t

La gráfica de este ajuste se presenta en la siguiente figura:

 

2. Ahora analiza haciendo uso del modelo exponencial propuesto como la función que define la concentración de CO₂ y aplicando diferenciales. Luego debes aplicar y solucionar lo siguiente:

a) Aproxima el cambio en la concentración de CO₂ en los mares de 1980 a 1984.

Utiliza la diferencial de una función para encontrar el cambio de o a 1:

1980 valor X₁

1984 valor X₂

Expresión de la razón de cambio es: Δx= X₂ – X₁     Δx= 1984 – 1980 = 4  ßdx       f(x) = 333.08e^0.005t

f(x) = 333.08e^0.005t

f ’(x) = 0.005 * 333.08e^0.005t = (333.08 * 0.005) = 1.6654e^0.005t    f ‘(x) = 1.6654e^0.005t   

Ahora podemos sustituir  la fórmula: 

Concentración de C02 en una función

f(x+Δ_x) = f(x) + f ‘(x)dx         Evaluamos cuando xà 0

Sustituimos los valores: f(x) =  333.08e^0.005x  f ‘(x) = 1.6654e^0.005x  dx= 4

f(x+Δ_x) = 333.08e^0.005t   +   1.6654e^0.005t  * 4 =

f(x+Δ_x) = 333.08e^0.005(0)  + 1.6654e^0.005(0)  * 4 =

Simplificamos multiplicando 0.005 por cero y el número de Euler elevado a cero da 1 quedando de la siguiente manera.

f(x+Δ_x) = 333.08(1)+  1.6654(1) * 4 =    

f(x+Δ_x) = 333.08  +  1.6654 * 4

f(x+Δ_x) = 339.7416 ß dy

b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica del ajuste exponencial, es decir, a f(x)=333.08e^0.005t, en el punto t=0, y úsala para aproximar la concentración de CO₂ en t = 1.

Y –y₁= f ‘(x) (x – x₁)

Tenemos que: X = 0      y₁ = 0.005       f ‘(x) 1.6654

f ‘(x) 1.6654e^0.005t      f(0) = 1.6654e^0.005(0)       = 1.6654(1)     f ‘(x) 1.6654

f(x) = 333.08e^0.005t   f(0) = 333.08e^0.005(0)       f(0) = 333.08(1)         f(0) = 333.08 ßy₁

Y –y₁ = f’ (x) (x – x₁)

Y - 333.08 = 1.6654(x – x₁) despejaremos  enviando el valor de Y₁ al otro lado de la igualdad de restar a sumar.

Y - 333.08 = 1. 6654 (x – 0)

Y = 1.6654x + 333.08 = ßesta es nuestra ecuación de la recta tangente.

Aproximándola a x à 1     Y = 1.6654 (4) + 333.08 = 339.7416

c) Compara tu resultado con lo obtenido en el inciso anterior, respondes ¿qué conclusiones puedes generar al observar estas mediciones?

a) f(x + Δx) = 339.7416        b) Y = 339.7416

Al utilizar dos estrategias diferentes que nos llevaron  a un resultado muy aproximado, esta ecuación con la diferencial  de x y la ecuación de la recta tangente.

  

Observamos en la recta tangente el punto de una función es la mejor aproximación lineal a la misma, comprobamos con el resultado que es correcto ya que coinciden en f(1) y los valores de la función son parecidos.

3. Integra tu desarrollo, con la gráfica, en un documento (de preferencia en procesador de textos).

X	f(x) = 339.7416e^0.005x	y=1.6654x + 339.7416
0	339.7416	339.7416
1	341.444562	341.407
2	343.15606	343.0724
4	346.604836	346.4032
6	350.088272	349.734
8	353.606718	353.0648
10	357.160524	356.3956
12	360.750047	359.7264
14	364.375646	363.0572
16	368.037682	366.388
18	371.736522	369.7188
20	375.472536	373.0496
22	379.246098	376.3804
24	383.057584	379.7112
26	386.907377	383.042
28	390.795861	386.3728
30	394.723425	389.7036