Estudiante: Michel Sámano del Real
Grupo: M18C2G4-021
Facilitador: José Ricardo Vergara Torres
Fecha: 24/04/20017
1. Lee con detenimiento la
siguiente situación:
El cambio climático es un fenómeno con
efectos sobre el clima, está asociado a la intervención humana por la
producción y acumulación de gases de efecto invernadero, como el CO2,
en la atmósfera.
El observatorio del volcán Mauna Loa,
en Hawái, se dedica al monitoreo de la concentración de CO2 sobre la
superficie de los mares, teniendo un registro desde el año 1980 hasta 2015. Con
base en un proceso estadístico, similar al que se revisó en el Módulo 17, fue
posible establecer un modelo matemático que aproxima la concentración del CO2,
por año.
A continuación se muestra una gráfica
de los datos obtenidos por este centro de monitoreo1 del promedio
anual de CO2 sobre la superficie del mar, para más información
puedes consultar la página del observatorio directamente.
Para pensar esta función de crecimiento
se considera el año 1980 como el inicio de la medición de tiempo, es decir, se
toma como t = 0, a partir de este punto comienza a avanzar la variable
temporal, por último se ajustan las escalas para que los ejes tengan el mismo
tamaño entre cada valor, esto, porque es la forma más común de trabajarlo, de
manera que la gráfica resultante es:
Usando herramientas de Excel se ha
generado un ajuste exponencial (en el Módulo 17 de Estadística se trabajaron
ajustes lineales), dado por:
Para comprender mejor los elementos de
esta función puedes apoyarte del video: https://www.youtube.com/watch?v=zcs6JXHZQtI
f(t)=333.08e0.005t
La gráfica de este ajuste se presenta
en la siguiente figura:
2. Ahora analiza haciendo uso del modelo exponencial propuesto
como la función que define la concentración de CO2 y aplicando
diferenciales. Luego debes aplicar y solucionar lo siguiente:
a) Aproxima el cambio en la concentración de CO2 en los mares
de 1980 a 1984.
Utiliza la diferencial de una función para encontrar el cambio de o a 1:
1980 valor X1
1984 valor X2
Expresión de la razón
de cambio es: Δx= X2 – X1 Δx= 1984 – 1980 = 4 ßdx f(x) = 333.08e0.005t
f(x) = 333.08e0.005t
f ’(x) = 0.005 * 333.08e0.005t = (333.08 *
0.005) = 1.6654e0.005t f ‘(x) = 1.6654e0.005t
Ahora podemos sustituir la fórmula:
Concentración de C02 en una función
f(x+Δx) = f(x) + f ‘(x)dx Evaluamos cuando xà 0
Sustituimos los valores: f(x) = 333.08e0.005x f ‘(x) = 1.6654e0.005x dx= 4
f(x+Δx) = 333.08e0.005t +
1.6654e0.005t * 4 =
f(x+Δx) = 333.08e0.005(0) + 1.6654e0.005(0) *
4 =
Simplificamos
multiplicando 0.005 por cero y el número de Euler elevado a cero da 1 quedando
de la siguiente manera.
f(x+Δx) = 333.08(1)+ 1.6654(1) * 4 =
f(x+Δx) = 333.08 + 1.6654
* 4
f(x+Δx) = 339.7416 ß dy
b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica del ajuste exponencial,
es decir, a f(x)=333.08e0.005t,
en el punto t=0, y úsala para aproximar la concentración de CO2 en t = 1.
Y –y1= f ‘(x) (x – x1)
Tenemos que: X = 0 y1 = 0.005 f ‘(x) 1.6654
f ‘(x) 1.6654e0.005t
f(0) = 1.6654e0.005(0) = 1.6654(1) f ‘(x) 1.6654
f(x) = 333.08e0.005t f(0) = 333.08e0.005(0)
f(0) = 333.08(1) f(0)
= 333.08 ßy1
Y –y1 = f’ (x) (x – x1)
Y - 333.08 = 1.6654(x – x1) despejaremos enviando el valor de Y1 al otro
lado de la igualdad de restar a sumar.
Y - 333.08 = 1. 6654 (x – 0)
Y = 1.6654x + 333.08 = ßesta es nuestra ecuación de la recta tangente.
Aproximándola
a x à 1 Y = 1.6654 (4) + 333.08 = 339.7416
c) Compara tu resultado con lo obtenido en el inciso anterior, respondes
¿qué conclusiones puedes generar al observar estas mediciones?
a) f(x + Δx) = 339.7416 b) Y = 339.7416
Al
utilizar dos estrategias diferentes que nos llevaron a un resultado muy aproximado, esta ecuación
con la diferencial de x y la ecuación de
la recta tangente.
Observamos en la
recta tangente el punto de una función es la mejor aproximación lineal a la
misma, comprobamos con el resultado que es correcto ya que coinciden en f(1) y
los valores de la función son parecidos.
3. Integra tu desarrollo, con la gráfica, en un documento (de preferencia
en procesador de textos).
|
X
|
f(x) = 339.7416e^0.005x
|
y=1.6654x + 339.7416
|
|
0
|
339.7416
|
339.7416
|
|
1
|
341.444562
|
341.407
|
|
2
|
343.15606
|
343.0724
|
|
4
|
346.604836
|
346.4032
|
|
6
|
350.088272
|
349.734
|
|
8
|
353.606718
|
353.0648
|
|
10
|
357.160524
|
356.3956
|
|
12
|
360.750047
|
359.7264
|
|
14
|
364.375646
|
363.0572
|
|
16
|
368.037682
|
366.388
|
|
18
|
371.736522
|
369.7188
|
|
20
|
375.472536
|
373.0496
|
|
22
|
379.246098
|
376.3804
|
|
24
|
383.057584
|
379.7112
|
|
26
|
386.907377
|
383.042
|
|
28
|
390.795861
|
386.3728
|
|
30
|
394.723425
|
389.7036
|
